Programme:
Mercredi 1er juin
12h30: arrivé au hameau : repas + enregistrement + installation
14h45-15h15 Introduction, Bertrand Cloez
15h15-16h00 On the stability of positive semigroups, Pierre Del Moral
16h00-17h Pause
17h-17h45 Modélisation de la croissance des bactéries Escherichia coli, Nathalie Krell
20h repas
Jeudi 2 juin
9h15-10h00 Time-reversal of the spine of branching processes near stationarity, Benoît Henry
10h-10h30 Pause
10h30-11h45 Autour du théorème de Krein-Rutman, Stéphane Mischler
11h45-12h30,A measure-valued stochastic model for vector-borne viruses, Mario Ayala
12h30 Repas
14h45-15h30 Cauchy processes on phylogenetic trees, Gilles Didier
15h30-16h15 Comportement ergodique d’un modèle de croissance bactérienne structuré en taille et âge via le théorème de Harris, Ignacio Madrid
16h15- 17h Pause
17h-17h45 Individual-based models of bacterial metabolic heterogeneity, Josué Tchouanti
Vendredi 3 juin
9h15-10h Ancestral lineages in mutation selection equilibria with moving optimum, Florian Patout
10h-10h30 Pause
10h30-11h15, Guillaume Martin
12h -... préparation du départ + repas
Informations pratiques
Le workshop a lieu du mercredi 1er juin au vendredi 3 juin. Nous serons logés au hameau de l'étoile:
https://www.hameaudeletoile.com/
et les exposés auront lieu en salle CAYLA.
L'ANR prend en charge hébergement, les repas et la navette de Montpellier au hameau.
Le transport jusqu'à Montpellier est charge des participants.
Nous allons mettre en place, une navette qui devrait partir de Montpellier Sud de France (gare TGV) vers 11h30 le mercredi et arrivant à Gare Sud de France le vendredi vers 14h30-15h.
Résumés
On the stability of positive semigroups (joint work with Emma Horton and Ajay Jasra)
The stability and contraction properties of positive integral semigroups on Polish spaces are investigated. We provide a novel analysis based on an extension of V -norm, Dobrushin-type, contraction techniques on functionally weighted Banach spaces for Markov operators.
These are applied to a general class of positive and possibly time-inhomogeneous bounded integral semigroups and their normalised versions. Under mild regularity conditions, the Lipschitz-type contraction analysis presented in this article simplifies and extends several exponential estimates developed in the literature. We shall review and illustrate these results in the context of positive semigroups arising in transport theory, physics, mathematical biology and advanced signal processing.
Modélisation de la croissance des bactéries Escherichia coli.
Résumé: On s'intéresse à l'évolution d'un modèle de bactéries Escherichia coli.
Tout d'abord je parlerai de 2 travaux faits en collaboration avec Marie Doumic, Marc Hoffmann et Lydia Robert, pour le premier on s'est d'abord demandés comment l'on devait structurer le modèle en taille, en âge?
Après avoir vu que l'évolution structurée en taille pour un modèle de bactéries Escherichia coli était pertinente, on a décidé d'étudier dans un deuxième papier cette évolution plus précisément. La taille du système évolue selon une équation de transport fragmentation: chaque individu croit avec un certain taux de transport et se divise en deux bactéries filles, selon un processus de fragmentation binaire dont le taux de division dépend de la taille de la bactérie et est inconnu. Macroscopiquement le système est bien approché par une EPD et la résolution statistiques se fait grâce à un problème inverse. Dans ce deuxième travail on s'est intéressé au point de vue microscopique qui permet d'introduire plus de dépendance et qui correspond à la réalité des observations. Pour cela on a introduit un PDMP (processus déterministe par morceaux) qui modélise la taille d'une bactérie "marquée".
Dans un travail en cours avec Bertrand Cloez, Benoite de Saporta et Tristan Roget, on a généralisé le modèle précédent en tenant compte du fait qu’il y a 2 types de bactéries les bactéries « jeunes » et d’autres « vieilles », et qu’elles ont des taux de croissance et de divisions propres.
Ces travaux seront illustrés par des résultats sur des données réelles: de bactéries Escherichia coli.
Cauchy processes on phylogenetic trees
(joint work with Paul Bastide)
A general question of evolutionary studies is to determine the joint probability density of the trait values for contemporary species, given their evolutionary relationships provided as a phylogenetic tree of which these contemporary species are tips. In the case of a quantitative trait (i.e., height, weight...), there are only a very few models, all derived from the brownian motion, for which this computation can be performed in an exact way. Models based on non gaussian processes have to use sampling approaches in order to estimate this joint probability density.
Under the assumption that the evolution of a quantitative trait follows a Cauchy process, we show that the joint characteristic function of the probability density of the tip values has a very simple expression which is straightforwardly related to the phylogenetic tree and from which we derive a recursive algorithm to compute the joint probability density of a given set of tip values. This exact computation raises numerical issues on large trees, which can be overcome in several ways.
A measure-valued stochastic model for vector-borne viruses
In this talk we propose a measure-valued stochastic process representing the dynamics of a virus population, structured by phenotypic traits and geographical space, and where viruses are transported between spatial locations by mechanical vectors. As a first example of the use of this model, we will show how to use this model to extend, into this setting, known results on the probability of extinction of the virus population. Later, by combining various scalings on population sizes, speed of diffusion of vectors, and other relevant model parameters, we show the emergence of two systems of integro-differential equations as Macroscopic descriptions of the system. Under the existence of densities at time zero, we also show the propagation of this property for later times, and derive the strong formulation of the limiting systems of IDEs. These strong formulations, in a sense, correspond to spatial Lotka-Volterra competition models with mutation and vector-borne dispersal.
Joint work with Jerome Coville and Raphael Forien from INRAE, Avignon.
Comportement ergodique d’un modèle de croissance bactérienne structuré en taille et âge via le théorème de Harris
Motivés par l’étude de la distribution stationnaire des tailles d’un modèle de prolifération bactérienne, on s'intéressera à l’analyse d'un processus de branchement sur un espace d’état à deux dimensions continues (taille et “âge"). Le processus est dirigé par un terme de drift déterministe entre les sauts aléatoires, et un noyau de transition qui possède une forme dégénérée liée au renouvellement de l'âge. À l’aide du théorème de Harris, on montrera le comportement en temps long du semigroup associé, en portant une attention particulière à la preuve de la condition de minoration de Doeblin. En effet, une des principales difficultés techniques réside dans la dégénérescence des sauts et la dépendance déterministe entre les deux dimensions le long des trajectoires du processus, ce qui fait que borner uniformément les probabilités de ces trajectoires par rapport à une mesure non dégénérée sur un espace bidimensionnel ne soit pas trivial. On conclut par l'application des résultats au modèle qui inspire l'étude, accompagnée de l’analyse de données single-cell qui permettent d’observer expérimentalement la convergence discutée.
Ancestral lineages in mutation selection equilibria with moving optimum
Many populations can somehow adapt to rapid environmental changes. To understand this fast evolution, we investigate the
genealogy of individuals inside those populations. More precisely, we use a deterministic model to describe the phenotypic
density of a population under selection when the fitness optimum moves at constant speed. We study the inside dynamics
of this population using the neutral fractions approach. We then define a Markov process characterizing the distribution of
ancestral phenotypic lineages inside the equilibrium. This construction yields qualitative as well as quantitative properties on
the phenotype of typical ancestors. In particular, we show that in asexual populations typical ancestors of present individuals
carried traits much closer to the fitness optimum than most individuals alive at the same time. We also investigate more deeply
the asymptotic regime of small mutation effects. In this regime, we obtain an explicit formula for the typical ancestral lineage
using the description of the solutions of Hamilton Jacobi equation as a minimizer of an optimization problem. In addition, we
compare our deterministic results on lineages with the lineages of stochastic models.
Time-reversal of the spine of branching processes near stationarity
It is usual to approximate PDE in biology using branching processes as microscopic models. The behavior of such processes, when linear, can then be investigated using tools such as many-to-one formulas and the associated spine processes. This process is typically a time-inhomogeneous Markov process. In this talk, we will discuss some homogenization phenomenon arising when approximating a PDE at stationarity for the time-reversed spine process.
Individual-based models of bacterial metabolic heterogeneity
Le métabolisme bactérien renvoie à l’ensemble des réactions chimiques grâce
auxquelles une bactérie utilise un substrat pour mettre en oeuvre les différentes
phases de son cycle cellulaire. Si on a longtemps pensé qu’au sein d’une popula-
tion initialement clonale l’activité métabolique était homogène, des expériences
récentes ont montré qu’une hétérogénéité significative peut être observée. Dans
cet exposé, nous proposons des approches de modélisation de cette hétérogénéité
partant d’une description des entités chimiques pilotant les mécanismes bi-
ologiques à l’échelle individuelle. Nous montrons ensuite des limites d’échelle en
grande population dont une équation de diffusion-croissance-fragmentation. Ce
modèle limite étant dégénéré et non-linéaire car couplé avec une ressource, nous
insisterons sur les résultats d’unicité de la solution au sens des mesures et son
existence au sens des fonctions tous deux basés sur des propriétés de régularité
du semi-groupe associé à la dynamique des traits individuels.
